Mårtens träningsblogg

Extentor

• Formulering och bevis av Eulers polyederformel
• Formulering av aritmetikens fundamentalsats
• Formulering och bevis av Fermats lilla sats
• Bevis av att m!/0! + (m+1)!/1! + ... + (m+n)!/n! = (m+n+1)!/(n!(m+1)), för alla positiva heltal m och n
• Kombinatoriskt bevis av att (n 0) + (n 1) + ... + (n n) = 2ⁿ, där (n k) för k = 0, 1, ..., n betecknar n över k, dvs. n!/(k!(n-k)!)
• Bevis av likheten ((n+1) k) = (n (k-1)) + (n k)
• Bevis av att delbarhetsrelationen på dom positiva heltalen är transitiv
• Bevis eller motbevis av att A∪(B\C) = (A∪B)\C
• Bevis av att om A är en delmängd till B är A:s potensmängd en delmängd till B:s potensmängd
• Bevisa att F_n = 1 + F₁ + F₂ + ... + F_n-2, där F₀ = 0, F₁ = 1 och F_n = F_n-1+F_n-2
• Formulering av vad som menas med ett primitivt element i Z_p
• Bevis av att om p är ett primtal så är påståendena att x²=-1 i Z_p har lösning och p≡1 mod 4 ekvivalenta. I beviset får det utan bevis användas att det finns ett primitivt element i Z_p

Instuderingsfrågor

• Fråga 11: Man bör även känna till antalet element i den symmetriska differensen av två mängder A och B
• Fråga 12: Satsen om inklusion och exklusion är mycket viktig att kunna på tentan. Dock utgår bevis och formulering av den, det viktiga är att kunna använda satsen
• Fråga 20: Bevis av aritmetikens fundamentalsats utgår, den behöver endast kunna formuleras
• Fråga 20: Bevis av kinesiska restsatsen utgår, den behöver endast kunna formuleras
• Fråga 63: Bevis av Eulers polyederformel utgår, den behöver endast kunna formuleras. Med tanke på att den har förekommit på extentor är det dock lite förvirrande. Vill man vara på den säkra sidan bör man nog lära sig beviset ändå
• Fråga 65: Formulering av Kuratowskis sats utgår
• Fråga 69: Endast 2 metoder behöver kännas till med tanke på att endast två metoder har behandlats under kursen...
• Bland kombinatorikfrågorna står det på sina ställen att man ska kunna bevisa saker kombinatoriskt. Enligt Victor räcker det att kunna bevisa sakerna med godtycklig metod. Men med tanke på att en fråga från en extenta krävde ett kombinatoriskt bevis kan man inte vara helt säker... Förslagsvis lär man sig dom kombinatoriska bevisen för att vara på den säkra sidan. Med tanke på att dom är kortare och elegantare kräver dom ju dessutom mindre jobb.

• Formulera Gauß' sats med alla förutsättningar
• Formulera Stokes' sats med alla förutsättningar
• Visa att div(rot u) är 0 för alla u som är C²-fält i R³
• Visa att om u är ett potentialfält i R³ så är rot u = 0
• Känna till att omvändningen gäller med den extra förutsättningen att u är definierad på ett enkelt sammanhängande område

I facit till tentan som har med den tredje punkten ovan hänvisas till ett exempel i boken där lösningen till problemet lämnas som övning åt läsaren. Att visa det hela är dock enkelt. Det är bara att räkna ut rotationen av u enligt definitionen av rotation och sen beräkna divergensen av svaret med hjälp av definitionen av divergens.

Precis som förra gången kan jag givetvis inte lova att nån av punkterna förekommer på tentan imorgon och inte heller att det räcker med att kunna hela listan för att vara säker på att klara alla tentans uppgifter av den här sorten.

Som ett slags mellansteg mellan att vara förkyld och ha träningsuppehåll och att träna för fullt körde jag fartlek idag. Vilket innebär att man springer lite på känsla. Snabbt när man känner för det, långsammare när man känner för det. Var totalt sätt ute och sprang i ca 28:30 minuter, varav runt 10 minuter var uppvärmning och nedjoggning. Var inte världens mest organiserade träningspass (eller bloggande om träningspass för den delen...) Men skönt att springa lite som jag kände för efter den längsta skoldagen på länge. Mer strukturerad och engagerad både träning och bloggning kommer senare i veckan...

Fredag

Torsdag

Som nämndes i förra inlägget har jag missat att skriva lite här på ett tag... Här kommer snabbt sammanfattat vad jag gjorde i torsdags i fredags.

Torsdag

Fredag

• 3*8 crunchies
• 2*3*7 sneda crunchies
• 3*10 benlyft
• 3*8 ryggresningar
• 2*3*8 tåhävningar

För utförande se detta gamla inlägg. Nästa pass sker imorgon. Då blir det antingen snabbdistans eller konditionstest. Varav det andra innebär att jag springer i stort sett i mitt maxtempo, dvs. i högre tempo än i snabbdistans. Blir snabbt som fan i vilket fall med andra ord...

Mer detaljerat om vad olika sorters pass innebär kommer snart, ska snart göra ett inlägg som lite mer långsiktigt visar hur jag tänker lägga upp min löpning några månader framåt. När jag hunnit ikapp med allt gammalt som jag inte hunnit skriva än...

Ännu en träningsblogg är född förresten. Kolla in Skys träningsblogg här och hälsa från mig. :)

Sprang snabbdistans igår (och han som vanligt inte skriva ner det hela förrän dagen efter...) Innebar några minuters uppvärmning följt av löpning i ett tempo strax under tävling. Blev ca 2,8 km på ganska precis 12 minuter efter en skön avslutande spurt i lite högre tempo än snabbdistan (sträckan mättes i efterhand med hjälp av Eniros kartfunktion, klicka på "Rita & Mät" till höger om kartan för att mäta din löprunda). Därefter nedjoggning.

Väl hemma blev det lite enkel styrka. Ska springa milen och fokus kommer givetvis ligga på uthållighet men så har visst Lisa fått för sig att jag ska klara av att göra minst 100 och gärna så mycket som 20*20 armhävningar en vacker dag (varav det sista antalet är det antal man ska klara i slutet av Navy Seals-programmet som bl.a. Daniel följer). Så jag känner mig lite tvungen att träna lite styrka också...

Först gjordes ett försök till pull-ups, blev 2 + 1 + 1 med 30 sekunders vila emellan, fattar inte hur folk pallar med övningen. Därefter 20 breda armhävningar, följt av 10 "vanliga", följt av 5 smala och sist 2*4 dips. För utförande se ett gammalt inlägg.

Nästa pass blir imorgon, då blir det ett lugnt och skönt pass med lite trevlig mag-, rygg- och benstyrka till. Ska bli najs, hej så länge.

• Definiera vad som menas med att den kvadratiska formen Q är positivt respektive negativt definit
• (Det har inte förekommit på extentor jag kollat på, men för att vara på den säkra sidan bör man veta vad som menas med att en kvadratisk form är positivt eller negativt semidefinit samt indefinit)
• Definiera vad som menas med en stationär punkt respektive en extrempunkt för en funktion som beror av flera variabler
• Veta vilka slutsatser man kan dra om en funktion f:s uppförande kring den stationära punkten (a,b) med hjälp av den kvadratiska formen av Taylorutvecklingen av f i (a,b)
• Formulera Greens formel med alla förutsättningar
• Med hjälp av Greens formel härleda en formel för att beräkna arean av ett plant område A med hjälp av en kurvintegral
• Definiera vad som menas med att fältet F = (P(x,y), Q(x,y)) är ett potentielfält i det öppna området Ω (uttryckt med andra ord; att F är konservativ)
• Visa att för ett konservativt vektorfält F = (P,Q) med potentialen U är kurvintegralen av F·dr längs kurvan γ lika med U(b) - U(a) om γ är C¹ samt börjar i a och slutar i b
• Visa att om vektorfältet F = (P,Q) är ett potentialfält i en öppen mängd Ω så är Q_x' = P_y' i Ω
• Ange ett villkor som gör att omvändningen till förra punkten gäller 
• Definiera vad som menas med riktningsderivata för en funktion av flera variabler
• Ange en formel för att beräkna riktningsderivatan av en funktion f i punkten P och i riktningen u
• Bevisa mellan vilka värden riktningsderivatan för en funktion av flera variabler i en punkt varierar och i vilken riktning den är som störst

Om du lär dig allt som står i listan kan jag nästan garantera att du kommer lyckas bättre på tentan utan att ha behövt lägga ner överdrivet mycket tid på det. Vill du kunna teorin mer ordentligt och vara ännu mer på den säkra sidan rekommenderar jag att du läser kursens instuderingsfrågor också.